蒙特卡洛模擬與股票數據結合

⑴ 什麼是蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)

我們一直面對著不確定，不明確和變異。甚至我們無法獲得信息，我們不能准確的預測未來。蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)讓您看到了您決策的所有可能的輸出，並評估風險，允許在不確定的情況下制定更好的決策。蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)是一種計算機數學技術，允許人們在定量分析和決策制定過程中量化風險。這項技術被專家們用於各種不同的領域，比如財經，項目管理，能源，生產，工程，研究和開發，保險，石油&天然氣，物流和環境。蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)提供給了決策制定者大范圍的可能輸出和任意行動選擇將會發生的概率。它顯示了極端的可能性-最的輸出，最保守的輸出-以及對於中間路線決策的最可能的結果。這項技術首先被從事原子彈工作的科學家使用；它被命名為蒙特卡洛，摩納哥有名的娛樂旅遊勝地。它是在二戰的時候被傳入的，蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)現在已經被用於建模各種物理和概念系統。蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)是如何工作的蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)通過構建可能結果的模型-通過替換任意存在固有不確定性的因子的一定范圍的值(概率分布)-來執行風險分析。它一次又一次的計算結果，每次使用一個從概率分布獲得的不同隨機數集。根據不確定數和為他們制定的范圍，蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)能夠在它完成計算前調用成千上萬次的重復計算。蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)產生可能結果輸出值的分布。通過使用概率分布，變數能夠擁有不同結果發生的不同概率。概率分布是一種用來描述風險分析的變數中的不確定性的更加可行的方法。常用的概率分布包括：正態分布(Normal)-或"鍾型曲線".用戶簡單的定義均值或期望值和標准差來描述關於均值的變異。在中部靠近均值的值是最有可能發生的值。它是對稱的，可以用來描述多種自然現象，比如人的身高。可以通過正態分布描述的變數示例包括通貨膨脹率和能源價格。對數正態分布(Lognormal)-值是正偏的，不像正態分布那樣是對稱的。它被用來代表不會小於零但可能有無限大正值的結果。可以通過對數正態分布描述的變數示例包括房地產價值，股票價格和石油儲量。均勻分布(Uniform)-所有的值發生的機會相等，用戶只需制定最小和最大值。可以通過均勻分布描述的變數示例包括一個新產品的製造費用或未來銷售收入。三角分布(Triangular)-用戶指定最小，最可能和最大值。在最可能附近的值最可能發生。可以通過三角分布描述的變數示例包括每時間單位內的過去銷售歷史和庫存水平。PERT分布-用戶指定最小，最可能和最大值，類似三角分布。在最可能附近的值最可能發生。然而在最可能和極值之間的值比三角分布更有可能發生；那就是說，the extremes are not as emphasized. 可以通過三角分布描述的變數示例包括在項目管理模型中的一項任務的持續時間。離散分布(Discrete)-用戶指定最可能發生的值和每個值的可能性。比如關於訴訟結果的示例，20%的機會陪審團判決無罪，30%的機會陪審團判決有罪，40%的機會審批有效，10%的機會審批無效。在蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)過程中，值被從輸入概率分布中隨機抽取。每個樣本集被稱為一次迭代，從樣本獲得的結果被記錄。蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)執行這樣的操作成百上千次，可能結果形成一個概率分布。用這種方法，蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)生成了一個更加全面關於將會發生的結果的視圖。它不僅僅告訴什麼結果會發生，而且還有結果發生的可能性。蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)提供了許多超越確定性或"單點估計"分析的優勢：概率結果，結果不僅顯示會發生什麼，而且還有每個結果發生的可能性圖形化報告，因為蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)生成的數據，它很容易創建不同結果和他們發生機會的圖形。這對於和其他投資者溝通結果是很重要的。敏感性分析，如果只有很少的一些案例，確定性分許就很難發現哪個變數對結果影響最大。在蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)中，很容易發現哪個輸入對底線結果有最大的影響。情境分析，在確定性模型中，對於為不同輸入值的不同組合建模來真實的查看不同情境的效果是很困難的。使用蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)，分析員能夠正確的查看當確定的輸出發生時某個輸入對應的值。這對於進一步的分析來說是無價的。相關性輸入，在蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)中，可能要建模輸入變數之間的相關關系。它對於准確的描繪在某些因子增長時，其它的因子是如何增長或下降的情況時是重要的。

⑵ 如何用python實現Markowitz投資組合優化

多股票策略回測時常常遇到問題。
倉位如何分配？
你以為基金經理都是一拍腦袋就等分倉位了嗎？
或者玩點玄乎的斐波拉契數列？
OMG，誰說的黃金比例，讓我看到你的腦袋（不削才怪）！！

其實，這個問題，好多好多年前馬科維茨（Markowitz）我喜愛的小馬哥就給出答案——投資組合理論。

根據這個理論，我們可以對多資產的組合配置進行三方面的優化。
1.找到有效前沿。在既定的收益率下使組合的方差最小。
2.找到sharpe最優的組合（收益-風險均衡點）

3.找到風險最小的組合

跟著我，一步兩步，輕松實現。
該理論基於用均值和方差來表述組合的優劣的前提。將選取幾只股票，用蒙特卡洛模擬初步探究組合的有效前沿。
通過最大Sharpe和最小方差兩種優化來找到最優的資產組合配置權重參數。
最後，刻畫出可能的分布，兩種最優以及組合的有效前沿。

註：
文中的數據API來自量化平台聚寬，在此表示感謝。
原文見【組合管理】——投資組合理論（有效前沿）（包含正態檢驗部分）

0.導入需要的包
import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm #統計運算
import scipy.stats as scs #科學計算
import matplotlib.pyplot as plt #繪圖

1.選取幾只感興趣的股票
000413 東旭光電，000063 中興通訊，002007 華蘭生物，000001 平安銀行，000002 萬科A
並比較一下數據（2015-01-01至2015-12-31）
In[1]:
stock_set = ['000413.XSHE','000063.XSHE','002007.XSHE','000001.XSHE','000002.XSHE']
noa = len(stock_set)
df = get_price(stock_set, start_date = '2015-01-01', end_date ='2015-12-31', 'daily', ['close'])
data = df['close']
#規范化後時序數據
(data/data.ix[0]*100).plot(figsize = (8,5))
Out[1]:

2.計算不同證券的均值、協方差
每年252個交易日，用每日收益得到年化收益。計算投資資產的協方差是構建資產組合過程的核心部分。運用pandas內置方法生產協方差矩陣。
In [2]:
returns = np.log(data / data.shift(1))
returns.mean()*252
Out[2]:

000413.XSHE 0.184516
000063.XSHE 0.176790
002007.XSHE 0.309077
000001.XSHE -0.102059
000002.XSHE 0.547441

In [3]:
returns.cov()*252
Out[3]:

3.給不同資產隨機分配初始權重
由於A股不允許建立空頭頭寸，所有的權重系數均在0-1之間
In [4]:
weights = np.random.random(noa)
weights /= np.sum(weights)
weights
Out[4]:

array([ 0.37505798, 0.21652754, 0.31590981, 0.06087709, 0.03162758])

4.計算預期組合年化收益、組合方差和組合標准差
In [5]:
np.sum(returns.mean()*weights)*252
Out[5]:

0.21622558669017816

In [6]:
np.dot(weights.T, np.dot(returns.cov()*252,weights))
Out[6]:

0.23595133640121463

In [7]:
np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(returns.cov()* 252,weights)))
Out[7]:

0.4857482232609962

5.用蒙特卡洛模擬產生大量隨機組合
進行到此，我們最想知道的是給定的一個股票池（證券組合）如何找到風險和收益平衡的位置。
下面通過一次蒙特卡洛模擬，產生大量隨機的權重向量，並記錄隨機組合的預期收益和方差。
In [8]:
port_returns = []
port_variance = []
for p in range(4000):
weights = np.random.random(noa)
weights /=np.sum(weights)
port_returns.append(np.sum(returns.mean()*252*weights))
port_variance.append(np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(returns.cov()*252, weights))))
port_returns = np.array(port_returns)
port_variance = np.array(port_variance)
#無風險利率設定為4%
risk_free = 0.04
plt.figure(figsize = (8,4))
plt.scatter(port_variance, port_returns, c=(port_returns-risk_free)/port_variance, marker = 'o')
plt.grid(True)
plt.xlabel('excepted volatility')
plt.ylabel('expected return')
plt.colorbar(label = 'Sharpe ratio')
Out[8]:

6.投資組合優化1——sharpe最大
建立statistics函數來記錄重要的投資組合統計數據（收益，方差和夏普比）
通過對約束最優問題的求解，得到最優解。其中約束是權重總和為1。
In [9]:
def statistics(weights):
weights = np.array(weights)
port_returns = np.sum(returns.mean()*weights)*252
port_variance = np.sqrt(np.dot(weights.T, np.dot(returns.cov()*252,weights)))
return np.array([port_returns, port_variance, port_returns/port_variance])
#最優化投資組合的推導是一個約束最優化問題
import scipy.optimize as sco
#最小化夏普指數的負值
def min_sharpe(weights):
return -statistics(weights)[2]
#約束是所有參數(權重)的總和為1。這可以用minimize函數的約定表達如下
cons = ({'type':'eq', 'fun':lambda x: np.sum(x)-1})
#我們還將參數值(權重)限制在0和1之間。這些值以多個元組組成的一個元組形式提供給最小化函數
bnds = tuple((0,1) for x in range(noa))
#優化函數調用中忽略的唯一輸入是起始參數列表(對權重的初始猜測)。我們簡單的使用平均分布。
opts = sco.minimize(min_sharpe, noa*[1./noa,], method = 'SLSQP', bounds = bnds, constraints = cons)
opts
Out[9]:
status: 0
success: True
njev: 4
nfev: 28
fun: -1.1623048291871221
x: array([ -3.60840218e-16, 2.24626781e-16, 1.63619563e-01, -2.27085639e-16, 8.36380437e-01])
message: 'Optimization terminated successfully.'
jac: array([ 1.81575805e-01, 5.40387481e-01, 8.18073750e-05, 1.03137662e+00, -1.60038471e-05, 0.00000000e+00])
nit: 4

得到的最優組合權重向量為：
In [10]:
opts['x'].round(3)
Out[10]:
array([-0. , 0. , 0.164, -0. , 0.836])

sharpe最大的組合3個統計數據分別為：
In [11]:
#預期收益率、預期波動率、最優夏普指數
statistics(opts['x']).round(3)
Out[11]:

array([ 0.508, 0.437, 1.162])

7.投資組合優化2——方差最小
接下來，我們通過方差最小來選出最優投資組合。
In [12]:
#但是我們定義一個函數對 方差進行最小化
def min_variance(weights):
return statistics(weights)[1]
optv = sco.minimize(min_variance, noa*[1./noa,],method = 'SLSQP', bounds = bnds, constraints = cons)
optv
Out[12]:
status: 0
success: True
njev: 7
nfev: 50
fun: 0.38542969450547221
x: array([ 1.14787640e-01, 3.28089742e-17, 2.09584008e-01, 3.53487044e-01, 3.22141307e-01])
message: 'Optimization terminated successfully.'
jac: array([ 0.3851725 , 0.43591119, 0.3861807 , 0.3849672 , 0.38553924, 0. ])
nit: 7

方差最小的最優組合權重向量及組合的統計數據分別為：
In [13]:
optv['x'].round(3)
Out[13]:
array([ 0.115, 0. , 0.21 , 0.353, 0.322])

In [14]:
#得到的預期收益率、波動率和夏普指數
statistics(optv['x']).round(3)
Out[14]:
array([ 0.226, 0.385, 0.587])

8.組合的有效前沿
有效前沿有既定的目標收益率下方差最小的投資組合構成。
在最優化時採用兩個約束，1.給定目標收益率，2.投資組合權重和為1。
In [15]:
def min_variance(weights):
return statistics(weights)[1]
#在不同目標收益率水平（target_returns）循環時，最小化的一個約束條件會變化。
target_returns = np.linspace(0.0,0.5,50)
target_variance = []
for tar in target_returns:
cons = ({'type':'eq','fun':lambda x:statistics(x)[0]-tar},{'type':'eq','fun':lambda x:np.sum(x)-1})
res = sco.minimize(min_variance, noa*[1./noa,],method = 'SLSQP', bounds = bnds, constraints = cons)
target_variance.append(res['fun'])
target_variance = np.array(target_variance)

下面是最優化結果的展示。
叉號：構成的曲線是有效前沿（目標收益率下最優的投資組合）
紅星：sharpe最大的投資組合
黃星：方差最小的投資組合
In [16]:
plt.figure(figsize = (8,4))
#圓圈：蒙特卡洛隨機產生的組合分布
plt.scatter(port_variance, port_returns, c = port_returns/port_variance,marker = 'o')
#叉號：有效前沿
plt.scatter(target_variance,target_returns, c = target_returns/target_variance, marker = 'x')
#紅星：標記最高sharpe組合
plt.plot(statistics(opts['x'])[1], statistics(opts['x'])[0], 'r*', markersize = 15.0)
#黃星：標記最小方差組合
plt.plot(statistics(optv['x'])[1], statistics(optv['x'])[0], 'y*', markersize = 15.0)
plt.grid(True)
plt.xlabel('expected volatility')
plt.ylabel('expected return')
plt.colorbar(label = 'Sharpe ratio')
Out[16]:

⑶ 蒙特卡洛公式計算股價准確嗎

蒙特卡洛公式計算股價准確。蒙特卡羅方法是由馮諾依曼和烏拉姆等人發明的，蒙特卡羅這個名字是出自摩納哥的蒙特卡羅賭場，這個方法是一類基於概率的方法的統稱，不是特指一種方法。蒙特卡羅方法也成統計模擬方法，是指使用隨機數（或者更常見的偽隨機數）來解決很多計算問題的方法。工作原理就是兩件事：不斷抽樣、逐漸逼近。

⑷ 看到一篇講投資組合信用風險的文章，裡面說序貫蒙特卡洛方法，請問這種方法的詳細解釋，謝謝。

什麼叫「序貫」？
蒙特卡洛方法是一種模擬方法，主要思想是在一個特定的樣本中重復進行大量抽樣，從而模擬出現實世界中的數據形態的一種方法，一般使用計算機進行。當然，樣本是有要求的，抽樣方法也是特定的。更詳細的牽涉到比較深的數學，尤其是隨機過程，還有計量經濟學、統計。建議去看書，一兩篇帖子說不清楚。

⑸ 下面的問題用蒙特卡洛模擬如何實現啊，想了解個基本過程

蒙特卡洛的基本原理就是通過計算機的計算能力進行大量實驗。實驗樣本到達一定數量後，能得出接近結果的數值解。這個題目可以通過計算直接得出結果接近於正態分布，但可以用excel簡單的說明下蒙特卡洛方法。
用excel的步驟基本如下：

1、第一列拉出各周期編號1至1000。（假設都是從第一行開始）
2、第二列作為隨機種子，B1輸入=rand()
3、第三列為根據既定價格及概率p值（回答里寫的p值，但輸入時應該是具體數值）判斷購買與否，C1輸入=if(B1<p,1,0)
4、第四列、五列展示周期開始、結束時剩餘貨物，即D1為50，E1輸入=max(D1-C1,0)，而後D2輸入=E1，E2輸入=max(D1-C1,0)。
5、每一列對應下拉（四、五列從第二行開始下拉）。
按這個步驟的話，就得出一個既定價格下，剩餘產品數量隨時間變化的表。
至於最後的利潤也是可以根據這個算的。
不過以上的過程是基於對每個周期買的概率進行1000次蒙特卡洛模擬。
如果模擬的是這1000次周期的結果，那就直接用一列到位，對多列的結果進行統計。
第1列仍然編號，第2列直接整合上述234步，表示該周期初始貨物存貨，第1行50，第二行B2輸入=IF(RAND()<p,MAX(B1-1,0),B1)，這里用的p仍然是數值的表示，比如說概率是0.7，實際應該輸入=IF(RAND()<0.7,MAX(B1-1,0),B1)
下拉，出現到1000步的初始貨物存貨，根據要求實際上是1000步後的結果，可以拉到1001行。這就用單列表示了整個貨物變化過程，如果想要更多1000步的不同結果，把整個b列右拉即有更多結果。

⑹ 怎麼用 Excel 做蒙特卡洛模Ƌ

下面是在Excel中模擬一隻股票價格的例子。假設股票價格
的對數收益率服從正態分布，均值為0，每日變動標准差為0.1，
模擬股票價格1年的路徑，過程如下：
用到兩個內置函數，即用rand()來產生0到1之間的隨機數，然後用norminv()來獲得服從既定分布的隨機數，即收益率樣本=norminv(rand(), 0, 0.1)。假定股票價格的初始值是100元，那麼模擬的價格就是 S=100 * exp(cumsum(收益率樣本))。
其中的cumsum（）不是Excel的內置函數，其意思就是收益率樣本的累積，每個時刻的值都是當前樣本及此前所有樣本的和，如，收益率樣本從單元格C3開始，當前計算C15對應的模擬價格，則模擬價格計算公式是：100 * exp(sum($C$3:C15))。
由此可以得到股票價格的一條模擬路徑。

------ 再來一個 --------

看到有人提到利用蒙特卡洛方法來估計圓周率Pi，挺有意思，也簡單，所以就在Excel中做了一個實驗。

基本原理在於在直角坐標系中的第一個象限中的一個單位圓，如下圖所示：

在這個面積為1的正方形中，有四分之一的圓，圓的半徑與正方向的邊長都是1。那麼根據圓的面積公式，這個圖形中陰影部分的面積應該是 Pi/4。

下面開始進入蒙特卡洛的解法。

即，如果我們對這個正方形平面中的點進行均勻地抽樣，隨著抽樣點的增多，那麼落入陰影內的點的數量與總抽樣數量的比，應該基本上等於陰影的面積Pi/4與整個正方形面積1的比，即Pi/4。用數學表示，就是

陰影內的樣本點數量 ÷ 總數量 = Pi/4

所以，Pi = 4 × 陰影內的樣本點數量 ÷ 總數量。

下面就在Excel中進行實驗。

用rand()函數生成2000個隨機數，作為隨機樣本點的X軸坐標，

再用rand()函數生成2000個隨機數，作為隨機樣本點的Y軸坐標。

如此就得到了2000個隨機樣本點，這些點的X軸坐標和Y軸坐標都大於零且小於1，所以是在前面所說的正方形之中的點。

下一步，判斷樣本點是否處於陰影之內，由於這個陰影就是單位圓在直角坐標系第一想像的四分之一，所以圓陰影內的點都符合如下不等式：

翻譯到Excel中，就是用IF函數來判斷，例如：

IF(A2^2 + B2^2 <=1, 1, 0)

即，如果樣本點在陰影中，得到1，否則得到0。這樣就把樣本點區分開來了。

最後，把所有得到的1和0加總，就知道所有樣本點中處於陰影中樣本點的數量了。

最後根據

Pi = 4 × 陰影內的樣本點數量 ÷ 總數量

就可以算出Pi來了。

我這個試驗中算出來的 Pi=3.142。

以下是樣本點的散點圖：

由於樣本數量有限，所以計算出來的Pi的精度並不高。

以下是工作界面，挺簡單的。

來源：知乎

⑺ 什麼是蒙特卡洛模擬( Monte Carlo simulation)

蒙特卡洛模擬又稱為隨機抽樣或統計試驗方法，屬於計算數學的一個分支，它是在上世紀四十年代中期為了適應當時原子能事業的發展而發展起來的。傳統的經驗方法由於不能逼近真實的物理過程，很難得到滿意的結果，而蒙特卡羅方法由於能夠真實地模擬實際物理過程，故解決問題與實際非常符合，可以得到很圓滿的結果。

蒙特卡洛隨機模擬法的原理是當問題或對象本身具有概率特徵時，可以用計算機模擬的方法產生抽樣結果，根據抽樣計算統計量或者參數的值；隨著模擬次數的增多，可以通過對各次統計量或參數的估計值求平均的方法得到穩定結論。

蒙特卡洛隨機模擬法 - 實施步驟抽樣計算統計量或者參數的值；隨著模擬次數的增多，可以通過對各次統計量或參數的估計值求平均的方法得到穩定結論。

(7)蒙特卡洛模擬與股票數據結合擴展閱讀

基本原理思想

當所要求解的問題是某種事件出現的概率，或者是某個隨機變數的期望值時，它們可以通過某種「試驗」的方法，得到這種事件出現的頻率，或者這個隨機變數的平均值，並用它們作為問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。

蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數量和幾何特徵，利用數學方法來加以模擬，即進行一種數字模擬實驗。它是以一個概率模型為基礎，按照這個模型所描繪的過程，通過模擬實驗的結果，作為問題的近似解。可以把蒙特卡羅解題歸結為三個主要步驟：構造或描述概率過程；實現從已知概率分布抽樣；建立各種估計量。

⑻ 蒙特卡洛模擬法

蒙特卡洛模擬技術，是用隨機抽樣的方法抽取一組滿足輸入變數的概率分布特徵的數值，輸入這組變數計算項目評價指標，通過多次抽樣計算可獲得評價指標的概率分布及累計概率分布、期望值、方差、標准差，計算項目可行或不可行的概率，從而估計項目投資所承擔的風險。

蒙特卡洛模擬的步驟如下：

第一步，通過敏感性分析，確定風險變數。

第二步，構造風險變數的概率分布模型。

第三步，為各輸入風險變數抽取隨機數。

第四步，將抽得的隨機數轉化為各輸入變數的抽樣值。

第五步，將抽樣值組成一組項目評價基礎數據。

第六步，根據基礎數據計算出評價指標值。

第七步，整理模擬結果所得評價指標的期望值、方差、標准差和它的概率分布及累計概率，繪制累計概率圖，計算項目可行或不可行的概率。

蒙特卡洛模擬程序如圖7-26所示。

圖7-26 蒙特卡洛模擬程序圖

【實訓Ⅷ】某項目建設投資為1億元，流動資金1000 萬元，項目兩年建成，第三年投產，當年達產。不含增值稅年銷售收入為5000萬元，經營成本2000萬元，附加稅及營業外支出每年為50萬元，項目計算期12 a。項目要求達到的項目財務內部收益率為15%，求內部收益率低於15%的概率。

由於蒙特卡洛模擬的計算量非常大，必須藉助計算機來進行。本案例通過手工計算，模擬20次，主要是演示模擬過程。

(1)確定風險變數。通過敏感性分析，得知建設投資、產品銷售收入、經營成本為主要風險變數。流動資金需要量與經營成本線性相關，不作為獨立的輸入變數。

(2)構造概率分布模型。建設投資變化概率服從三角形分布，其悲觀值為1.3億元、最大可能值為1億元、樂觀值為9000萬元，如圖7-27所示。年銷售收入服從期望值為5000萬元、σ＝300萬元的正態分布。年經營成本服從期望值為2000萬元、σ＝100 萬元的正態分布。

圖7-27 投資三角形分布圖

建設投資變化的三角形分布的累計概率，見表7-16及圖7-27所示。

表7-16 投資額三角形分布累計概率表

(3)對投資、銷售收入、經營成本分別抽取隨機數，隨機數可以由計算機產生，或從隨機數表中任意確定起始數後，順序抽取。本例從隨機數表(表7-20)中抽取隨機數。假定模擬次數定為k＝20，從隨機數表中任意從不同地方抽取三個20 個一組的隨機數，見表7-17。

表7-17 輸入變數隨機抽樣取值

(4)將抽得的隨機數轉化為各隨機變數的抽樣值。

這里以第1組模擬隨機變數產生做出說明。

1)服從三角形分布的隨機變數產生方法。

根據隨機數在累計概率表(表7-16)或累計概率圖(圖7-28)中查取。投資的第1個隨機數為48867萬元，查找累計概率0.48 867所對應的投資額，從表7-16中查得投資額在10300與10600之間，通過線性插值可得

第1個投資抽樣值＝10300+300×(48867-39250)/(52000-39250)＝10526萬元

2)服從正態分布的隨機變數產生方法。

從標准正態分布表(表7-21)中查找累計概率與隨機數相等的數值。例如銷售收入第1個隨機數06242，查標准正態分布表得銷售收入的隨機離差在-1.53與-1.54之間，經線性插值得-1.5348。

圖7-28 投資的累計概率分布圖

第1個銷售收入抽樣值＝5000-1.5348×300≈4540萬元。

同樣，經營成本第一個隨機數66 903相應的隨機變數離差為0.4328，第一個經營成本的抽樣值＝2000+100×0.4328＝2043萬元。

3)服從離散型分布的隨機變數的抽樣方法。

本例中沒有離散型隨機變數。另舉例如下，據專家調查獲得的某種產品售價的概率分布見表7-18。

表7-18 某種產品售價的概率分布

根據上表繪制累計概率如圖7-29所示。

若抽取的隨機數為43252，從累計概率圖縱坐標上找到累計概率為0.43252，劃一水平線與累計概率折線相交的交點的橫坐標值125元，即是售價的抽樣值。

(5)投資、銷售收入、經營成本各20個抽樣值組成20組項目評價基礎數據。

(6)根據20組項目評價基礎數據，計算出20 個計算項目評價指標值，即項目財務內部收益率。

(7)模擬結果達到預定次數後，整理模擬結果按內部收益率從小到大排列並計算累計概率，見表7-19所示。

從累計概率表可知內部收益率低於15%的概率為15%，內部收益率高於15%的概率為85%。

圖7-29 售價累計概率曲線

表7-19 蒙特卡洛模擬法累積概率計算表

①每次模擬結果的概率＝1/模擬次數。