用股票和無風險資產復制期權

A. 【求解】歐式看漲期權價格 計算題

樓上的回答需要改一改，首先，利率是連續復利，不是單利，所以括弧里的公式應該改成e^0.08。第二個是B前面的符號應該改成加號，否則結果帶入初始狀態的式子會有問題。其他都是對的。
另外就是第二題，要求用put call parity來求，直接用C-P=S-PV(X)就可以了。這個式子里的P就是要求的看跌期權價格，C市看漲期權價格，第一題求出來了，S是現在的股價，PV（X）就是行權價格的現值，用25除以e^0.08就可以了。

B. 期權和股票搭配,是不是無風險投資

任何投資都有風險，只是大小不同而已，通常來說風險越大，收益就越高，你害怕風險就投資一些固定收益的產品，我們要做的就是風險一定，收益最大化，收益一定，風險最小化，無風險套利在真正來說是不存在的，

C. 期權定價三叉樹的發展歷程和具體介紹

三叉樹期權定價模型假設價格變化由以下三叉樹模型描述:S表示某股票價格,C表示以該股票為標的資產的期權價格。uS,mS,dS(Cu,Cm,Cd)分別表示第一期後股票(期權)價格的三種狀態,uuS、umS、udS,muS、mmS、mdS,S、dmS、ddS(Cuu、Cum、Cud,Cmu、Cmm、Cmd,C、Cdm、Cdd)分別表示第二期後股票(期權)價格的三種狀態。由於無套利均衡分析方法不涉及參與者風險偏好,因此我們可以用風險中性分析方法為標的資產期權定價。風險中性分析方法的關鍵是構造出風險中性概率。設資產A的初始價格為S1,資產B的初始價格為S2,無風險資產的利率為r,記-r =1+r。我們用Δ1份資產A,Δ2份資產B及L份無風險資產來復制該種期權。從無套利均衡分析技術有:Δ1u1S1+Δ2u2S2+-rL = CuΔ1m1S1+Δ2m2S2+-rL = CmΔ1d1S1+Δ2d2S2+-rL = Cd 解之得:Δ1=(Cu-Cm)(u2-d2)-(Cm-Cd)(u2-m2)S1[u1-m1)(u2-d2)-(u2-m2)(m1-d1)]Δ2=(Cm-Cd)(u1-d1)-(Cu-Cm)(m1-d1)S2L =-r-1u1[(Cu-Cm)(u2-d2)-(Cm-Cd)(u2-m2)](u1-m1)(u2-d2)-(u2-m2)(m1-d1) +u2(u1-m1)(Cm-Cd)-(m1-d1)(Cu-Cm)-Cu 記q1=(-r-u1)(m2-d2)(u1-m1)(m2-d2)-(u2-m2)(m1-d1)- (-r-u2)(u1-m1)+1q2=(-r-u1)(d2-u2)(u1-m1)(m2-d2)-(u2-m2)(m1-d1)+ (-r-u2)(u1-d1)q3=(-r-u1)(u2-m2)(u1-m1)(m2-d2)-(u2-m2)(m1-d1)- (-r-u2)(u1-m1)則q1+q2+q3=1。其中q1,q2,q3稱為風險中性概率。於是,單周期三叉樹期權定價公式為:C =-r-1[q1Cu+q2Cm+q3Cd]從數學歸納法出發,我們得到多周期三叉樹期權定價公式:C =-r-n∑ni,j=0n!i!j!(n -i-j)!qi1qj2(1-q1-q2)n-i-jCuimjd(n-j-j)

D. 期權為什麼能用股票交易和銀行存貸組合復制

期權就是可以相當持有一部分股票 然後加上一部分現金 因此可以用這兩個東西復制

E. 假設有一歐式的看漲期權的價格為5，你可以用4.9的成本用股票和債券完整復制該期權。要獲取無風險利潤

注意一點，0.1的利潤可能還控制不了操作風險。

F. 急急急要過程及答案

把無風險的利率帶進去不就好了，3個月的話，無風險的利率是7/4.也就是1.0175，你只要對最低的價格進行現值的折舊就可以了，因為復制的組合回報要等於0，你三個月要還的錢要等於你三個月的股票最低價格，就是對股票最低價格進行1/1.0175的折現
或
用bionomial tree 去算，你沒有variance，不可以用b-s模型，the price of three months =(44,36)
strike price =42,so C(up)=2,c(d)=0, discount rate of 3 months=1/1.02 h ratio=(2-0)/(44-36)=0.25, o.25x40-(call option price)=(1/1.02)x0.25x36 , the price of call =10-8.82=1.18
或
這個是個歐式期權定價模型吧，那個是正態分布樹，因為上升和下降都是百分之10，那麼計算期權的價格其實就是用無風險的資產和股票復制一個同樣回報的組合就可以了（希望你可以明白），三個月的價格有2種，下跌的為36，上升的為44，由於執行價格為42，那麼你在36的時候是不會執行期權的，唯一有可能執行的是44，那麼你在44執行的時候回報為2,36的時候回報為0，那麼你只要用股票和無風險的資產復制一個一樣回報的資產，那個資產的價格就等於期權的價格（因為股票的分析和期權的風險是一樣的，所以期權可以看做是某種股票的比重，很拗口，但是確實是事實），那麼怎麼樣復制這個和期權一樣回報的組合呢，就要計算hedeg ratio了，在這里是0.25，這個是由於要2塊錢的回報，你只需要買百分之25的股票就可以了，股票回報的變動從36-44，是8，而期權回報的變動是2，那麼百分之25股票的變動不恰恰是2嗎，那麼你買了百分之25的股票，是多少錢？40x0.25=10.就是你買10塊錢的股票就有和期權一樣的回報，但是注意了你要復制另外一個0的回報，這個就要你的股票價格為36，如果你借錢買的股票剛好等於36x0,25那麼你的2個回報就完全等同期權的回報（2，0），在這種情況下因為利息的存在，你要還的錢的現值就等於36x0.25x(1/1.02 ），這個數字三個月後就變成36x0.25，剛好你股票的最低價格可以償還，你的最壞的回報為0.在借入這么多錢後，你買入10塊錢的股票還差多少錢？1.18.這個就是你要付得期權費，因為你用1,18加上借來的存款可以剛好復制到期權一樣的回報，在最高的時候，股票44,你四分只一個的股票可以獲得0.25(44-36)=2的回報，在最差的時候，可以剛剛彌補你借錢的成本36xo.25.那麼不是和42塊錢執行價格的期權一樣嗎，那麼你付得1,18和買一個期權有區別嗎，這個就是期權的價格了，好累，其實蠻難解釋的

G. 為何買入期權與其復制型資產組合必然擁有相同的價格

這是由無套利原理得出來的。期權平價公式c+pv(x)=p+s，其中x為行權價，c,p,s分別是看漲期權，看跌期權和股票的價格。

由平價公式可得c=p+s-pv(x)，即看漲期權可以通過買入看跌期權和股票，借入與行權價現值等額的資金來復制。

如果c>p+s-pv(x)，那麼可以通過賣出看漲期權，並買入右邊組合來構建無風險套利策略，同時獲得正收益c-[p+s-pv(x)]

到期後如果股價高於行權價，看漲期權將會被行權，如果股價低於行權價，看跌期權將會被行權，也就是說，無論股票價格為多少，都會收到現金x，歸還借款，最終現金流量為0。從而實現了無風險套利。

套利機會的存在，會使得公式趨於平衡。即c=p+s-pv(x)，即「買入期權與其復制型資產組合必然擁有相同的價格」

H. 以債券為標的設計兩年期的利率期權

布萊克-斯科爾斯公式斯科爾斯與已故的經濟學家布萊克曾於1973年發表《期權定價和公司債務》一文，該文給出了期權定價公式，即著名的布萊克-斯科爾斯公式。與以往期權定價公式的重要差別在於只依賴於可觀察到的或可估計出的變數，這使得布萊克-斯科爾斯公式避免了對未來股票價格概率分布和投資者風險偏好的依賴，這主要得益於他們認識到，可以用標的股票和無風險資產構造的投資組合的收益來復制期權的收益，在無套利情況下，復制的期權價格應等於購買投資組合的成本，好期權價格僅依賴於股票價格的波動量、無風險利率、期權到期時間、執行價格、股票時價。上述幾個量除股票的估計也比對未來股票價格期望值的估計簡單得多。市場許多大投資機構在股票市場和期權市場中連續交易進行套利，他們的行為類似於期權的復制者，使得期權價格越來越接近於布萊克-斯科爾斯的復製成本，即布萊克-斯科爾斯公式所確定的價格。 布萊克和斯科爾斯通對1966年至1969年期權交易價格數據的分析、另一學者哥雷對芝加哥期權交易所成立後前七個月交易價格的分析都證實了布萊克-斯科爾斯公式的准確性。布萊克和斯科爾斯復製法則的重要性還在於，它告訴人們可以利用已存在的證券來復制符合於某種投資目的的新的證券品種，這成為金融機構設計新的金融產品的思想方法。該論文中關於公司債務問題的論述也極富創建性，指出：企業債務可以看作一組簡單期權合約的組合，期權定價模型可以用於對企業債務的定價，這包括對債券、可轉換債券的定價。傳統方法在分析權益價格、長期債務、可轉換債券時，對資本結構中不同的組合成分結合起來進行考慮。利用期權定價理論評價企業債務時，對資本結構中不同的組成部分同時進行評價，這樣就考慮了每種資產對其他資產定價的影響，確保了整個資產結構評價的一致性。利用布萊克-斯科爾斯公式對某一特定證券定價時，不象統計或回歸分析那樣，需要這種證券或與其相類似證券以往的數據，它可以對以往所沒有的新型證券進行定價，這一特性擴大了期權定價模型的應用，為企業新型債務及交易證券如保險合約進行定價提供了方法。 期權定價公式簡介 black-scholes對歐洲叫買期權的形式如下：c=sn(d)-le-rtn(d-σ t)式中c為叫買期權的價值；s為現在股價；n(d)為變數d的標准正態分布函數（偏差小於d的概率）；l為敲定價格（也叫執行價格或履約價格）；e為自然對數的底，等於2.71828…r為無風險利率；t為期權到期的時間；n(d-σ t)為函數；d為一變數，s σ2d=ln — + (r+ — )tl 2其中ln為自然對數；σ為股價波動的標准差。 公式中叫買期權的價值為兩部分之差。公式右邊第一項為期望的股價，公式右邊第二項為股票期望的成本。即價值為期望股價與期望成本之差。公式表明，今日股價s愈高，則叫買期權價c愈高。股價的波動愈大（用標准偏差測量），則期權價值越高。期權到期的時間t愈長，敲定價l愈低，期權執行的可能性就更大（這種可能性由正態分布函數來估定）。 對於用black-scholes公式給期權定價是基於這樣的思路： 對一個所謂的「歐洲叫買期權」，它是給出從現在起三個月用敲定價：每股50美元，購買某一公司股票的權利。這個期權的價值很明顯，不僅取決於敲定價，而且取決於今天的股價。今天的股價越高，則三個月後每股超過50美元的可能性越大。在這種情況下，付出代價就是為了運用選擇權。在最簡單的情況下，假定股價今日上上漲2美元，以上期權上漲1美元。還假定投資者擁有某一有問題公司的許多股票。他想減少股價變化的風險，可以按他擁有的股票數，每一股賣出兩股期權，這樣就完全迴避了風險。由於他這樣組成的組合投資是無風險的，於是其投資回報可以說將和三個月短期國債相同，即回報率等於三個月國債的無風險利率。然而，當期權逼近到期日的過程中，股價是在變化的，因而期權價與股價之間的關系也是變化的，所以想要保持一個無風險的期權一股票組合，投資者必須在他的投資組合中逐漸變化。black和scholes正是基於這樣的思路，再加上一些技術的假設寫出了一個偏微分方程。而這個偏微分方程的解就是上面所列出的期權定價公式。

I. 如何用期權和遠期復制無風險資產

證券投資的風險從廣義上來說有系統性風險和非系統性風險。通俗一點說系統性風險就是與大盤波動性相關的風險，非系統性風險就是個股自己的風險，比如某家葯企的新產品沒有通過FDA審核。

這里我們引入一個參數貝塔值衡量個股與市場的敏感度
貝塔系數有三種計算方法

1.可以通過將市場的超額回報率作為自變數，該只個股的超額回報率作為因變數（均用歷史實際回報率減去無風險利率狀態下的回報率（常用信用評級較高的政府債券作為風險回報率）），畫出散點圖，用linear regression擬合出的直線斜率即為貝塔系數

相關系數ρ的范圍從-1到+1。+1是完全正相關。

所以如果你通過宏觀經濟分析預測接下來的市場是牛市，就可以構造一個股票組合使其貝塔大於1，這樣可以獲得超額收益阿爾法。而用金融產品復制無風險資產的投資組合就是將貝塔值調成零，使你管理的投資組合不受大盤波動影響。

買股票同時賣出看漲期權或者買入看跌期權或者做空股票時反向操作可以將此portfolio貝塔系數調成零。也可以用遠期或期貨合約實現此目的。

如果你管理的portfolio是債券，那麼就將其久期調成與你所要match的期限相一致，即immunization債券免疫

如果你管理的portfolio是期權，那麼就將其delta調成0，即delta hedge動態對沖。

J. 邁倫·斯科爾斯的成就貢獻

斯科爾斯與已故的經濟學家費西爾·布萊克曾於1973年發表《期權定價和公司債務》一文，在這篇文章中，他們給出了期權定價公式，即著名的布萊克－斯科爾斯公式。它與以往期權定價公式的重要差別在於只依賴於可觀察到的或可估計出的變數，這使得布萊克－斯科爾斯公式避免了對未來股票價格概率分布和投資者風險偏好的依賴，這主要得益於他們認識到，可以用標的股票和無風險資產構造的投資組合的收益來復制期權的收益，在無套利情況下，復制的期權價格應等於購買投資組合的成本，好期權價格僅依賴於股票價格的波動量、無風險利率、期權到期時間、執行價格、股票時價。正是這篇文章的開創性研究為他們帶來了極大的榮譽，這篇文章所提出的Black-Scholes期權定價模型對這一領域具有革命性的意義，也對後續的金融領域的研究產生了廣泛而深刻的影響。上述幾個量除股票的估計也比對未來股票價格期望值的估計簡單得多。市場許多大投資機構在股票市場和期權市場中連續交易進行套利，他們的行為類似於期權的復制者，使得期權價格越來越接近於布萊克－斯科爾斯的復製成本，即布萊克－斯科爾斯公式所確定的價格。布萊克和斯科爾斯通過對1966年至1969年期權交易價格數據的分析、另一學者哥雷對芝加哥期權交易所成立後前七個月交易價格的分析都證實了布萊克－斯科爾斯公式的准確性。布萊克和斯科爾斯復製法則的重要性還在於，它告訴人們可以利用已存在的證券來復制符合於某種投資目的的新的證券品種，這成為金融機構設計新的金融產品的思想方法。該論文中關於公司債務問題的論述也極富創建性，指出：企業債務可以看作一組簡單期權合約的組合，期權定價模型可以用於對企業債務的定價，這包括對債券、可轉換債券的定價。傳統方法在分析權益價格、長期債務、可轉換債券時，對資本結構中不同的組合成分結合起來進行考慮。利用期權定價理論評價企業債務時，對資本結構中不同的組成部分同時進行評價，這樣就考慮了每種資產對其他資產定價的影響，確保了整個資產結構評價的一致性。