A. 考虑同一种股票的期货合约，看涨期权和看跌期权交易，若X=T,如何证明看涨期权价格等于看跌期权价格呢
看涨期权与看跌期权之间的平价关系
（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系
1．无收益资产的欧式期权
在标的资产没有收益的情况下，为了推导c和p之间的关系，我们考虑如下两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为Xe-r(T-t) 的现金
组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产
在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：
c+Xe-r(T-t)=p+S（1.1）
这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。它表明欧式看涨期权的价值可根据相同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值推导出来，反之亦然。
如果式（1.1）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（1.1）成立。
2．有收益资产欧式期权
在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为D+Xe-r(T-t) ，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：
c+D+Xe-r(T-t)=p+S（1.2）
（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系
1．无收益资产美式期权。
由于P>p,从式（1.1）中我们可得：
P>c+Xe-r(T-t)-S
对于无收益资产看涨期权来说，由于c=C，因此：
P>C+Xe-r(T-t)-S
C-P<S-Xe-r(T-t)（1.3）
为了推导出C和P的更严密的关系，我们考虑以下两个组合：
组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金
组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产
如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max(ST,X)，而此时组合A的价值为max(ST,X)+ Xe-r(T-t)-X 。因此组合A的价值大于组合B。
如果美式期权在T-t 时刻提前执行，则在T-t 时刻，组合B的价值为X，而此时组合A的价值大于等于Xe-r(T-t) 。因此组合A的价值也大于组合B。
这就是说，无论美式组合是否提前执行，组合A的价值都高于组合B，因此在t时刻，组合A的价值也应高于组合B，即：
c+X>P+S
由于c=C，因此，
C+X>P+S
结合式（1.3），我们可得：
S-X<C-P<S-Xe-r(T-t)(1.4)
由于美式期权可能提前执行，因此我们得不到美式看涨期权和看跌期权的精确平价关系，但我们可以得出结论：无收益美式期权必须符合式（1.4）的不等式。
2．有收益资产美式期权
同样，我们只要把组合A的现金改为D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：
S-D-X<C-P<S-D-Xe-r（T-t） （1.5）
B. 标的股票价格为31，执行价格为30，无风险年利率为10%，三个月期欧式看涨期权价为3，
根据买卖平价公式C(t)+K*exp[-r(T-t)]=P(t)+S(t)
其中其中C为看欧式张期权价格，K是执行价格，P是看欧式跌期权价格，S是现在的标的资产价格，r为无风险利率，T为到期日（K按无风险利率折现），两个期权的执行价和其他规定一样
当等式成立的时候就是无套利，不等的时候就存在套利机会
如：上式的等号改为“>”号，则可以在 t 时刻买入一份看跌期权，一份标的资产，同时卖出一份看张期权，并借现金（P+S-C)，则 t 时刻的盈亏为0
到T时刻的时候，若S>K，则看涨期权被执行，得到现金K，还还本付息（P+S-C)*exp[r(T-t)]， 总盈亏为{C+K*exp[-r(T-t)]-P-S}*exp[r(T-t)]>0
若S<K,则执行看跌期权，得到现金K,还本付息（P+S-C)*exp[r(T-t)]，也能获得大于零的收益
所以从总的来看，若平价公式不成立，则存在套利机会
代入数据即可
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D. 已知股票价格变动如下，rf=5%，100：120/90 ,以此股票为标的资产一年期的欧式期权的执行价格为X=110元，
(1)用单步二叉树模型
对冲Δ=10/(120-90)=1/3
组合价值=1/3×120-10=30
组合价值折现值=30×e^(-5%×1)=28.54
看涨期权价格=1/3×100-28.54=4.79
（2）用买卖权平价公式：
如果一个投资组合由一只股票和一个看跌期权组成 (S+Vp)，另一个投资组合由一个零息债券/纯贴现债券（或者存入银行存款）和一个看涨期权组成 （K+Vc），那么这两个投资组合的收益是一样的。
110×e^（-5%×1）+4.79=看跌期权价格+100
看跌期权价格=9.43
E. 两个相同标的资产,相同期限的欧式看涨期权的价格差一定小于这两个期权执行价格之差么
这个答案是正确的。
举个例子来说明：
假设一个股票的看涨期权，行权价分别为6元、7元，如果执行价格为6元的期权对应的期权费为2.5元，而执行汇率7元的期权对应的期权费为1元，期权费价差大于两个执行价格的价差。如果是这样，就存在套利机会。
客户可以选择卖出执行价格为6元的看涨期权，得到期权费2.5元；同时买入执行价格为7元的看涨期权，支付期权费1元，客户可以获得期权费收入1.5元。
到期日：
1、如果市场价格大于7元，两个期权都需要交割。客户可以按7元/股的价格买入股票，同时按6元/股卖出股票。客户亏损1元，加上期权费收入，客户获利0.5元/股。
2、如果市场价格小于7元大于6元，客户需要按6元/股卖出股票，但可以按低于7元的市场价买入股票，客户获利=6元-市场价+1.5元，因为-1<6元-市场价<0，所以0.5<客户获利<1.5
3、如果市场价格小于6元，两个期权均无需交割，客户获利1.5元。
如上所述，无论到期市场价格为多少，客户均可以获得无风险套利，这样的套利机会在实际操作及期权定价中是不可能出现的，因此看涨期权的价格差一定小于这两个期权执行价格只差。
F. 已知某种标的资产为股票的欧式看跌期权的执行价格为50美元，期权到期日为3个月，股票目前市场价格为4
因为它的隐含波动率是27.23%。
持有股票三个月后，无论股价是多少，都以20元卖出，收到20美元。
归还本息（三个月利息大约19*10%*3/12=0.475），大约19.5左右，剩余0.5美元，加上之前收到的1美元股息，一共有1.5美元的收益。这期间无论股票价格如何变动，收益都是固定的，期初也不需要任何成本。
Call-Put平价公式为P+S=C+Ke^[-r(T-t)]
根据平价公式依题意可知，K=45，C=8，P=1，e^-r=1/(1+10%)，T-t=3/12=1/4，S=50。
把相关数值代入平价公式可得1+50<8+45/(1+10%)^(1/4)=51.94，存在套利机会。
应该通过持有该期权标的物和买入看跌期权，并且卖出看涨期权构成一个套利头寸组合。
(6)已知某种标的资产为股票的欧式看涨期权扩展阅读：
隐含波动率是把权证的价格代入BS模型中反算出来的，它反映了投资者对未来标的证券波动率的预期。市场上没有其他的国电电力权证，所以得不到国电电力未来波动率预期的参考数据，那么投资者在计算国电权证的理论价值时，可以参考历史波动率（观察样本可以是最近一年）。
正常情况下，波动率作为股票的一种属性，不易发生大的变化。但是如果投资者预计未来标的证券的波动率会略微增大或减小，那么就可以在历史波动率的基础上适当增减，作为输入计算器的波动率参数。